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Zum Thema:

Ich suche die Bewegungsgleichung für zwei Massenpunkte im ℝ3 , die nur der Gravitationskraft des jeweils anderen unterliegen.

Beide Massenpunkte haben eine konstante Masse m1 und m2 , einen Anfangsimpuls p1 und p2 , einen Anfangsabstand x0 zum anderen mit x0≠0.

Es gilt:

F1 = -F2 

F1 = m1 · a1 = G · ( m1 · m2 )/( x1 - x2 )2

F2 = m2 · a2 = -G · ( m1 · m2 )/( x1 - x2 )2 

Die Kraft F, die Beschleunigung a, der Impuls p und der Ort x sind vektorielle Größen.

G ist die Gravitationskonstante, x1 und x2 der jeweilige Ort der Massenpunkte.

Die Beschleunigung a ist die zweite Ableitung des Ortes x.

a(t) = x´´(t)

Durch Umformen habe ich folgende zwei Differentialgleichungen erhalten:


(I)   x1´´(t) · ( x1 (t) - x2 (t) )2 = G · m2 

(II)  x2 ´´(t) · ( x1 (t) - x2 (t) )2 = -G · m1


Die Geschwindigkeit v stellt die erste Ableitung des Ortes x dar.

x´(t) = v (t)

x1´(0) = v1 (0) = p1 / m1

x2´(0) = v2 (0) = p2 / m2


Ich suche nun x1 (t) und x2 (t).

Zur Frage:

Gibt es für die zwei Gleichungen (I) und (II) eine analytische Lösung?

Wenn ja, wie kann sie aussehen bzw. wie kommt man auf sie?

Falls man die numerische Lösung sucht, wie kann man vorgehen?

Wie kann die Lösung aussehen?


Ich bedanke mich im voraus bei allen, die auf die Fragen eingehen bzw. sonstige Tipps geben. :-)

von

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