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Hallo, da sich hier sicher auch ein paar Physiker oder physikaffine Mathematiker herumtreiben, versuche ich mal mein Glück:

Zugegeben, um die Geister solls garnicht gehen sondern um einen anderen Aspekt bei der Pfadintegralquantisierung von Eichfeldern nach Faddeev-Popov. Ich fasse kurz zusammen, die eigentliche Frage steht unten unter dem horizontalen Strich.

Wir integrieren in unserem Pfadintegral

$$ I=\int DA e^{iS[A]}$$

über zu viele Felder, nämlich auch solche Felder A und A^h, die physikalisch äquivalent insofern sind, als sie durch eine Eichtransformation in Verbindung stehen:

$$A_{\mu}^h = hA_{\mu}h^{-1} + \frac i g (\partial_{\mu} h)h^{-1}$$

mit einem h aus der zugrundeliegenden Liegruppe. Der "Trick" besteht darin (unter der Anname, dass DA und S[A] eichinvariant sind), in obiges Pfadintegral ausgehend von einer Eichbedingung

$$ f(A)=0$$die Identität

$$ 1 =\Delta_{FP}(A) \int Dh \delta[f(A^h)]$$

einzugügen (mit einer noch zu bestimmenden Funktion Δ(A)), was nach Vertauschen der Integrationsreihenfolge

$$ \int Dh\int DA e^{iS[A]}\Delta_{FP}(A)\delta[f(A^h)]$$

gibt. Da vorausgesetzt wurde, dass das Maß im zweiten Integral eichinvariant ist, und man sich unschwer überzeugen kann, dass das auch für die Funktion Δ gilt, folgt

$$ I = \int Dh \int DAe^{iS[A]}\Delta_{FP}(A)\delta[f(A)].$$

Tadaaa, das zweite Integral ist nicht mehr von h abhängig und das erste gibt lediglich das Volumen der Eichgruppe und ist als Vorfaktor unwichtig.

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Jetzt zur eigentlichen Frage. Nehmen wir an, es geht um Elektromagnetismus, d.h.

$$ A_{\mu}^h = A_{\mu}  - \partial_\mu \alpha.$$

Als Eichbedingung wählt man ja üblicherweise A=0, also f(A) = ∂A, hier nehmen wir

$$ f(A) = \partial A - \sigma $$.

mit irgendeiner Funkion σ(x). So weit so gut.Damit hat man also

$$Z = \int DAe^{iS[A]}\Delta_{FP}(A)\delta[\partial A - \sigma]$$

und jetzt kommts endlich: Das Integral ist unabhängig von der Wahl der Funktion σ und kann deshalb mit
 $$ e^{\frac {i} {2\xi} \int d^4x \sigma(x)^2}$$

integriert werden. Da Vorfaktoren keine Rolle spielen, hat man also nach Ausführung des Integrals

$$ Z = \int DA e^{iS[A]-\frac {i}{2\xi}\int d^4x (\partial A)^2}.$$

So bekommt man den bekannten Photonenpropagator

$$ \frac {-i}{q^2}\left[ \eta_{\mu\nu} - (1-\xi)\frac{q_\mu q_\nu}{q^2}\right],$$

mir ist aber nicht ganz klar, wie man auf die spezielle Wahl der Sigma-Funktion kommt, die man an das Pfadintegral multipliziert. Prinzipiell könnte man doch jede beliebige Funktion wählen und würde entsprechend völlig andere Terme im Exponenten erhalten. Wodurch ist genau diese Wahl gerechtfertigt / motiviert?

Beste Grüße

von

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