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Zugegeben, um die Geister soll es gar nicht gehen sondern um einen anderen Aspekt bei der Pfadintegralquantisierung von Eichfeldern nach Faddeev-Popov.

Ich fasse kurz zusammen:

Wir integrieren in unserem Pfadintegral

$$ I=\int DA e^{iS[A]}$$

ĂŒber zu viele Felder, nĂ€mlich auch solche Felder A und A^h, die physikalisch Ă€quivalent insofern sind, als sie durch eine Eichtransformation in Verbindung stehen:

$$A_{\mu}^h = hA_{\mu}h^{-1} + \frac i g (\partial_{\mu} h)h^{-1}$$

mit einem h aus der zugrundeliegenden Liegruppe. Der "Trick" besteht darin (unter der Anname, dass DA und S[A] eichinvariant sind), in obiges Pfadintegral ausgehend von einer Eichbedingung

$$ f(A)=0$$die IdentitÀt

$$ 1 =\Delta_{FP}(A) \int Dh \delta[f(A^h)]$$

einzugĂŒgen (mit einer noch zu bestimmenden Funktion Δ(A)), was nach Vertauschen der Integrationsreihenfolge

$$ \int Dh\int DA e^{iS[A]}\Delta_{FP}(A)\delta[f(A^h)]$$

gibt. Da vorausgesetzt wurde, dass das Maß im zweiten Integral eichinvariant ist, und man sich unschwer ĂŒberzeugen kann, dass das auch fĂŒr die Funktion Δ gilt, folgt

$$ I = \int Dh \int DAe^{iS[A]}\Delta_{FP}(A)\delta[f(A)].$$

Tadaaa, das zweite Integral ist nicht mehr von h abhÀngig und das erste gibt lediglich das Volumen der Eichgruppe und ist als Vorfaktor unwichtig.


Meine Frage:

Nehmen wir an, es geht um Elektromagnetismus, d.h.

$$ A_{\mu}^h = A_{\mu}  - \partial_\mu \alpha.$$

Als Eichbedingung wĂ€hlt man ja ĂŒblicherweise ∂A=0, also f(A) = ∂A, hier nehmen wir

$$ f(A) = \partial A - \sigma $$.

mit irgendeiner Funkion σ(x). So weit so gut.Damit hat man also

$$Z = \int DAe^{iS[A]}\Delta_{FP}(A)\delta[\partial A - \sigma]$$

und jetzt kommts endlich: Das Integral ist unabhĂ€ngig von der Wahl der Funktion σ und kann deshalb mit
 $$ e^{\frac {i} {2\xi} \int d^4x \sigma(x)^2}$$

integriert werden. Da Vorfaktoren keine Rolle spielen, hat man also nach AusfĂŒhrung des Integrals

$$ Z = \int DA e^{iS[A]-\frac {i}{2\xi}\int d^4x (\partial A)^2}.$$

So bekommt man den bekannten Photonenpropagator

$$ \frac {-i}{q^2}\left[ \eta_{\mu\nu} - (1-\xi)\frac{q_\mu q_\nu}{q^2}\right],$$

mir ist aber nicht ganz klar, wie man auf die spezielle Wahl der Sigma-Funktion kommt, die man an das Pfadintegral multipliziert. Prinzipiell könnte man doch jede beliebige Funktion wĂ€hlen und wĂŒrde entsprechend völlig andere Terme im Exponenten erhalten. Wodurch ist genau diese Wahl gerechtfertigt / motiviert?

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ErklÀrung zur Wahl der Sigma-Funktion

Die spezielle Wahl der Funktion \(\sigma(x)\) bei der Pfadintegralquantisierung von Eichfeldern, insbesondere im Kontext der Elektrodynamik, ist tief in der Methode der Faddeev-Popov Quantisierung und der Gauge-Theorie verwurzelt. Die grundlegende Motivation hinter dieser Wahl stammt von dem Bedarf, das Integral ĂŒber alle Gauge-Äquivalenzklassen in ein wohldefiniertes Integral ĂŒber physikalisch unabhĂ€ngige Konfigurationen umzuwandeln, was durch das EinfĂŒhren einer geeigneten Eichfixierung erreicht wird.

Die EinfĂŒhrung der Delta-Funktion \(\delta[\partial A - \sigma]\) dient dazu, bestimmte Eichbedingungen zu fixieren, wodurch das Integral ĂŒber alle möglichen Eichfeldkonfigurationen auf solche Konfigurationen eingeschrĂ€nkt wird, die dieser Bedingung genĂŒgen. Das \(\sigma(x)\) in dieser Bedingung ermöglicht eine gewisse FlexibilitĂ€t in der Wahl der spezifischen Eichbedingung.

Die Funktion \(\sigma(x)\) selbst wird dann so gewĂ€hlt, dass sie diese Eichbedingung in einer Weise erfĂŒllt, die das AusfĂŒhren des Integrals vereinfacht oder die Berechnungen in einem gewĂŒnschten Rahmen hĂ€lt. Im Fall des Elektromagnetismus fĂŒhrt die Wahl zu einer effektiven Quadratisierung des Eichterms im Exponenten des Pfadintegrals.

Die EinfĂŒhrung des Faktors \(e^{\frac{i}{2\xi}\int d^4x \, \sigma(x)^2}\) und seine Integration in das Pfadintegral ist eine technische Maßnahme, um mit der Eichfixierungsbedingung konsistent zu bleiben und gleichzeitig die Rechnungen handhabbar zu machen. Dieser Schritt ist eine Konsequenz aus der Notwendigkeit, die Funktionaldeterminante, die durch das EinfĂŒhren der Deltafunktion und die Gauge-Fixierung entsteht, zu behandeln (Faddeev-Popov Determinante \(\Delta_{FP}(A)\)). Die spezifische Form des Exponenten \(e^{\frac{i}{2\xi}\int d^4x \, \sigma(x)^2}\) ist darauf abgestimmt, dass dieser Vorfaktor die Rechnungen vereinfacht und zu dem bekannten Ausdruck fĂŒr den Photonenpropagator fĂŒhrt.

Die Wahl von \(\sigma(x)\) und das resultierende EinfĂŒhren des entsprechenden Exponenten in das Pfadintegral spiegeln also einen Kompromiss zwischen mathematischer Konsistenz (Einhaltung der Eichfixierungsbedingung) und Berechenbarkeit (Einfachheit des resultierenden Integralausdrucks) wider. Prinzipiell könnten andere Funktionen \(\sigma(x)\) gewĂ€hlt werden, was jedoch zu anderen Eichfixierungsbedingungen und möglicherweise komplexeren oder weniger handhabbaren Integralen fĂŒhren wĂŒrde. Die hier vorgestellte Wahl ist also insofern gerechtfertigt, als dass sie eine effektive Methode bietet, um mit den rechnerischen Herausforderungen der Quantenfeldtheorie umzugehen, indem sie eine klare physikalische Interpretation mit rechentechnischer PraktikabilitĂ€t verbindet.
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