Welcher Weg ist der schnellere und warum?

Question

Aufgabe:

Eine Kugel kann über zwei Arten von A nach D gelangen:
(1) Leicht bergab rollen von A nach B, dann im freien Fall nach D, oder
(2) zuerst im freien Fall von A nach C und dann auf der Schräge nach D rollen.
Die Kugel wird in A losgelassen, hat also keine Anfangsgeschwindigkeit.
Ausser der Gravitationskraft wirken keine Kräfte (Reibung, Luftwiderstand, etc. können vernachlässigt werden).
Welcher Weg ist der schnellere und warum? Skizzieren Sie die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit für beide Fälle.

Problem/Ansatz:

Skizze Geschwindigkeit, Weg Bestimmung

Answer 1

Hast Du einmal wie angegeben die Funktion v(t) für die beiden Wege skizziert? Spätestens dann sollte es völlig klar werden.

Im einen Fall ist die Geschwindigkeit über eine längere Strecke höher, sodass die Zeit für den Weg

$$t=\int\limits_1^2\frac{1}{v(s)}\,\mathrm{d}s$$

kleiner ist (s=Bogenlänge).