Berechnung der Schwingungsdauer und Amplitude der harmonischen Schwingung

Question

Hallo

Woher weiß ich hier, dass ich den Sinus benutzen muss und nicht etwa den Cosinus? Mit freundlichen Grüßen

Text erkannt:

Aufgabe 4:
In einem \( 30^{\circ} \) gegen die Waagerechte geneigten Bergwerksschacht werden drei je \( 10 \mathrm{t} \) schwere, aneinander gekoppelte Loren von einem Stahlseil gehalten. Das Stahlseil ist gegenuber dem unbelasteten Zustand um \( 15 \mathrm{~cm} \) elastisch gedehnt. Plotzlich lost sich die letzte der drei Loren. Berechnen Sie die Schwingungsdauer und Amplitude der harmonischen Schwingung der verbleibenden zwei Loren (keine Reibung zwischen den Loren und der Unterlage).
K: „Federkonstante“ / Kraftkonstante des Stahlseils
Hooke'sches Gesetz: \( F_{r}=-K \cdot x \) \( x=0,15 m \) : Dehnung des Stahlseils, sodass \( F_{r}=-F_{a} \Rightarrow F_{a}=K \cdot x \Rightarrow K=\frac{F_{a}}{x} \)
\( F_{\alpha}=F_{G 3 m} \cdot \sin \alpha=3 \cdot m \cdot g \cdot \sin \alpha \Rightarrow K=\frac{3 \cdot m \cdot g \cdot \sin \alpha}{x} \)
\( \Rightarrow I=2 \pi \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot 2 \pi}{\frac{3 \cdot \not \pi \cdot g \cdot \sin \alpha}{x}}}=2 \pi \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot x}{3 \cdot g \cdot \sin \alpha}}=2 \pi \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot 0,15 \mathrm{~m}}{3 \cdot 9,81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} \cdot \sin 30^{\circ}}}=0,897 \mathrm{~s} \)

Answer 1

Woher weiß ich hier, dass ich den Sinus benutzen muss und nicht etwa den Cosinus?

Weil "sin α" als "Gegenkathete von α / Hypotenuse" definiert ist und "cos α" als "Ankathete von α / Hypotenuse" .

In dem grünen rechtwinkligen Kräftedreieck ist F_a die Gegenkathete, F_n die Ankathete und F_G3m die Hypotenuse.

Also ergeben sich u.a. folgende Beziehungen: sin α = F_a / F_G3m und cos α = F_n / F_G3m.

In der Formel K = F_a / x sollte F_a ersetzt werden und nicht F_n. Deshalb wurde es durch F_G3m * sin α bzw. 3 * m * g * sin α ersetzt.