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Berechnen Sie die Spannkraft im Faden.
Um die Spannkraft im Faden eines Kegelpendels zu berechnen, betrachten wir die Kräfte, die auf die Masse wirkend, im Gleichgewicht stehen müssen. Wir zerlegen das Problem in die vertikale und horizontale Komponente.
- Die vertikale Komponente der Spannkraft \(T\) im Faden muss die Gewichtskraft \(G\) der Masse ausgleichen. Die Gewichtskraft ist gegeben durch \(G = m \cdot g\), wobei \(g\) die Erdbeschleunigung ist.
- Die horizontale Komponente der Spannkraft bewirkt die Zentripetalkraft, die die Masse auf ihrer Kreisbahn hält.
Aus der Aufgabenstellung wissen wir:
- \(m = 12\,g = 0.012\,kg\) (Umrechnung in Kilogramm)
- \(l = 20\,cm = 0.20\,m\) (Umrechnung in Meter)
- \(\alpha = 30^\circ\)
- \(g = 9.81\,m/s^2\)
Zuerst berechnen wir die Gewichtskraft \(G\):
\(G = m \cdot g = 0.012\,kg \cdot 9.81\,m/s^2 = 0.11772\,N\)
Die Gewichtskraft ist die gesamte vertikale Kraft, deshalb nutzen wir den Sinus des Winkels \(\alpha\), um die vertikale Komponente der Spannkraft \(T\) zu berechnen, das heißt \(G = T \cdot \sin(\alpha)\). Umgestellt nach \(T\) ergibt sich:
\(T = \frac{G}{\sin(\alpha)}\)
Einsetzen der bekannten Werte (\(\sin(30^\circ) = 0.5\)) ergibt:
\(T = \frac{0.11772\,N}{0.5} = 0.23544\,N\)
Die Spannkraft im Faden beträgt also \(0.23544\,N\).
Berechnen Sie die Periodendauer des Kegelpendels.
Um die Periodendauer \(T_p\) des Kegelpendels zu berechnen, können wir die Formel für die Zentripetalkraft verwenden, die durch die horizontale Komponente der Spannkraft im Faden bereitgestellt wird. Die Zentripetalkraft \(F_{zp}\) wird berechnet durch:
\(F_{zp} = \frac{m \cdot v^2}{r}\)
Die Geschwindigkeit \(v\) der Masse ist entlang des Kreisumfangs und \(r\) ist der Radius der Kreisbahn. Der Radius \(r\) kann mit Hilfe des Winkels \(\alpha\) und der Länge des Fadens \(l\) berechnet werden: \(r = l \cdot \sin(\alpha)\).
Ein anderer Ansatz zur Berechnung der Periodendauer \(T_p\) beruht auf der Zirkularbewegung. Die Periodendauer ist die Zeit für eine volle Umdrehung und ist gegeben durch:
\(T_p = \frac{2\pi r}{v}\)
Jedoch fehlt uns die Geschwindigkeit \(v\). Stattdessen können wir \(T_p\) durch die Verbindung der Zentripetalkraft zur Schwerkraft berechnen. Die tatsächliche Formel zur Berechnung der Periodendauer eines Kegelpendels, die die vertikale Komponente der Schwerkraft als zentripetale Kraftersatz betrachtet, lautet:
\(T_p = 2\pi \sqrt{\frac{l \cos(\alpha)}{g}}\)
Setzen wir die gegebenen Werte ein, erhalten wir:
\(T_p = 2\pi \sqrt{\frac{0.20 \cdot \cos(30^\circ)}{9.81}} = 2\pi \sqrt{\frac{0.20 \cdot 0.866}{9.81}}\)
\(T_p = 2\pi \sqrt{\frac{0.1732}{9.81}} = 2\pi \sqrt{0.01766}\)
\(T_p \approx 2\pi \cdot 0.1329 = 0.8353\,s\)
Die Periodendauer des Kegelpendels beträgt also ungefähr \(0.8353\) Sekunden.
