Nehmen wir an, dass für einen gewissen Hamiltonoperator \( \hat{H} \) die Eigenwertgleichung \( \hat{H} \phi_{n}=E_{n} \phi_{n} \) gelöst wurde, dass also die Eigenfunktionen \( \phi_{n} \) und die Eigenwerte \( E_{n} \) bekannt sind. Man betrachte den Operator
\( \hat{\rho}=e^{-\beta \hat{H}} \)
mit einer (positiven) Konstanten \( \beta \), wobei der Ausdruck auf der rechten Seite durch die Taylorreihe der Exponentialfunktion definiert ist.
Wie zeigt man, dass die \( \phi_{n} \) auch Eigenfunktionen von \( \hat{\rho} \) sind und berechnen Sie die Eigenwerte \( \rho_{n} \) von \( \hat{\rho} \)?
Hierbei sollte man bedenken: Der Operator \( \hat{\rho} \) spielt eine große Rolle in der Thermodynamik, wobei \( \beta=1 /(k T) \) ist \( (k= \) Boltzmannkonstante,\( T= \) absolute Temperatur \( ) \).
