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Aufgabe:

(a) Untersuchen Sie, ob das Kraftfeld
\( \vec{F}^{\prime}(\vec{r})=F_{0}\left(\begin{array}{c} x_{1} / a \\ x_{1} x_{2} / b^{2} \\ 0 \end{array}\right) \)
konservativ ist. Hierbei ist \( F_{0} \) eine Konstante mit der Dimension einer Kraft und \( a \) und \( b \) sind Konstanten mit der Dimension einer Länge.

(b) Berechnen Sie die Arbeit, die in diesem Kraftfeld verrichtet wird, wenn ein Teilchen längs des Weges \( \mathcal{C}_{1} \) bzw. längs des Weges \( \mathcal{C}_{2} \) transportiert wird:
\( \mathcal{C}_{1}: \) Vom Ursprung \( \left(x_{1}=0, x_{2}=0, x_{3}=0\right) \) in gerader linie zum Punkt mit den Koordinaten \( \left(x_{1}=a, x_{2}=0, x_{3}=0\right), \) dann in gerader linie zum Punkt mit den
\( \text { Koordinaten }\left(x_{1}=a, x_{2}=b, x_{3}=0\right) \)
\( \mathcal{C}_{2}: \) Vom Ursprung \( \left(x_{1}=0, x_{2}=0, x_{3}=0\right) \) in gerader linie zum Punkt mit den Koordinaten \( \left(x_{1}=a, x_{2}=b, x_{3}=0\right) \)
Hinweis \( \mathrm{zu} \) (b): Eine gerade linie von \( \vec{r}_{1} \) nach \( \vec{r}_{2} \) lässt sich am einfachsten parametrisieren \( \operatorname{durch} \vec{r}(s)=\vec{r}_{1}+s\left(\vec{r}_{2}-\vec{r}_{1}\right) \) mit \( 0 \leq s \leq 1 \)

Problem/Ansatz: Bei dem Nachweis, ob es sich um ein konservatives Kraftfeld handelt, greift der Nabla Operator ein und man den Bezug finden zum zu einer orthonormalen Basis. Ich habe ab da aber leider keine Idee für eine Lösung dieser Aufgabe. Wäre sehr nett, falls jemand weiterhelfen kann.

LG

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1 Antwort

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Hallo

wenn da x1,x2,x3 steht ist der normale ℝ^3 gemeint. du musst also einfach die rot dieses Vektorfelds  ausrechnen "den Bezug finden zum zu einer orthonormalen Basis" das ist die Standardbasis des ℝ^3 wie in der Physik immer. vielleicht denkst du lieber in (x,y,z) statt in (x1,x2,x3)  beide sind üblich für ℝ^3 in der Standardbasis. nur wenn rotF=0 ist es konservativ.

Gruß lul

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