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rotierender_behälter.PNG



es geht darum den Verlauf der freien Oberfläche der Flüssigkeit zu bestimmen. Der Behälter rotiert dabei mit der Winkelgeschwindigkeit ω; die Dichte ρ und a sind gegeben.

Ich weiß nicht wie ich die zwei unterschiedlichen Radien (a im unteren Teil und 3a im oberen Teil des Behälters) berücksichtigen muss.

Bei einem Behälter mit konstantem Radius a würde sich ja der Verlauf der freien Oberfläche durch

h(r) = ho+ (ω^2*a^2)/(2*g)

angeben lassen, wobei ho z. B. aus der Forderung von gleichen Volumina (vor und nach der Rotation) bestimmt werden kann.

Anschaulich kann ich mir schon vorstellen, dass der Radius im unteren Behälter einen Einfluss auf h(r) hat, jedoch weiß ich nicht wie ich das formeltechnisch erfassen kann. Allgemein kann ich ja den Druckverlauf bei diesem Koordinatensystem durch

p(r,z) = -ρgz + 0.5ρω^2 + h0 angeben.

Muss ich hier 2 "Bereiche integrieren" ?

Gefragt ist auch noch nach dem Ort des maximalen Drucks. Der wird ja dann aufgrund der Zentrifugalkraft am Außenradius sein, entweder im oberen Teil des Behälters mit Radius 3a oder im unteren mit Radius a (aufgrund des höheren geodätischen Drucks). Oder?

Vielen Dank für die Hilfe!

von

Hallo Simon,

Du hättest die Frage früher stellen sollen. Jetzt ist nach 23:00 ,,, bis morgen ;-)

Hallo Werner,

die Aufgabe wurde gestern erst um 22 Uhr in unserer Fachschaft hochgeladen :D

Klausur ist am Freitag, aber wenn du heute schon antworten kannst habe ich natürlich nichts dagegen ;)

1 Antwort

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Hallo Simon,

Bei einem Behälter mit konstantem Radius a würde sich ja der Verlauf der freien Oberfläche durch
h(r) = ho+ (ω2*a2)/(2*g)
angeben lassen, ...

Im Prinzip ja - es heißt: $$h(r) = h_0 + \frac{\omega^2}{2g} r^2$$

wobei h0 z. B. aus der Forderung von gleichen Volumina (vor und nach der Rotation) bestimmt werden kann.

richtig! Und das Volumen \(V_P\) eines (abgeschnittenen) Paraboloiden ist $$V_P = \frac 12 \pi hR^2$$wobei \(R\) der Radius der Schnittfläche und \(h\) die Höhe vom Scheitelpunkt bis zur Schnittfläche ist (rechne das mal selber nach). Er nimmt also genau die Hälfte des Volumens des einhüllenden Zylinders ein.

Daraus folgt, dass in einem mit einer Flüssigkeit gefüllten zylindrischen Gefäß mit (Innen)Durchmesser \(R\) und Füllhöhe \(H\) immer $$\frac 12(h(R) + h_0) = H$$sein muss. Unabhängig von der Drehgeschwindigkeit \(\omega\). Daraus folgt für das \(h_0\)$$h_0 = 2H - h(R) = 2H - h_0 - \frac{\omega^2}{2g} R^2 \\ \implies h_0 = H - \frac{\omega^2}{4g} R^2$$

Anschaulich kann ich mir schon vorstellen, dass der Radius im unteren Behälter einen Einfluss auf h(r) hat

Nö - warum denn. Solange die Oberfläche des Paraboloiden nicht bis zu der Ecke bzw. dem Rand des unteren Behälters reicht, bleibt es bei dem parabelförmigen Querschnitt. Ich habe das mal im Plotlux eingegeben:

~plot~ (abs(x)>0.5)+(abs(x)>1.5)*9;0.2039x^2+1.771;[[-2|2|-1|4]];0.81549x^2+1.0826;1.1403x^2+0.717;{0.75*sqrt(2)|2} ~plot~

In dem Beispiel ist \(a=1\) und \(\omega\) wächst von \(\omega =2 \text{s}^{-1}\) (rot) über \(\omega =4 \text{s}^{-1}\)  (grün) nach \(\omega =4,7 \text{s}^{-1}\) (pink).

Steigt \(\omega\) weiter an, werden sich zwei Paraboloide heraus bilden. Der untere reicht immer bis zum Rand des unteren Gefäßabschnitts und der obere entweder zum oberen Rand des Gefäßes (bei \(3a\)?) oder eben so weit hoch, bis das gesamte restliche Volumen der Flüssigkeit untergebracht ist.

Steigt \(\omega\) noch weiter an, wird der untere Paraboloid durch den Gefäßboden 'abgeschnitten'.

In jedem Fall bleibt der Faktor \(\omega^2/(2g)\) für jeden der beiden Paraboloiden immer erhalten.

Gefragt ist auch noch nach dem Ort des maximalen Drucks. Der wird ja dann aufgrund der Zentrifugalkraft am Außenradius sein, entweder im oberen Teil des Behälters mit Radius 3a oder im unteren mit Radius a (aufgrund des höheren geodätischen Drucks). Oder?

Ja genau! Weißt Du wie man ihn berechnet?

von 4,3 k

Hallo Werner,

behälter.jpg


Ich habe mal ein paar Rechnungen beigefügt:

-Kannst du meine Ergebnisse für h(r) und h_0 bestätigen? Ich komme damit nicht exakt auf deine geplotteten Kurven.

-Ich habe ausgerechnet, dass für ω>4.18 s^-1 bereits Wasser oben aus dem Behälter ausläuft (mit der Annahme, dass der Behälter 3a hoch ist. Passt das?

-Maximaler Druck auch korrekt? Ich denke in der Klausur wird noch eine konkrete Winkelgeschwindigkeit angegeben sein; Oder kann man hier schon sagen welcher Druck größer ist?


Angenommen der Behälter wäre sehr hoch, damit kein Wasser raus fließt. Der Verlauf für h(r) ist ja nur für omega kleiner 4.17 s^-1 korrekt. Was passiert darüber hinaus? Du meintest es bilden sich dann 2 Paraboloide heraus. Meinst du damit einen abschnittsweise definierten Verlauf mit Knick, also so wie ich es im Bild unten rechts dargestellt habe? Das kann ich mir nur schwer vorstellen :D

Und wie würde man in diesem Fall den Verlauf von h(r) berechnen? Wäre super, wenn du das rein qualitativ erläutern könntest. Ich versuche das dann selber zu rechnen.

Vielen Dank!

Und was ich mich auch noch Frage ist warum die Druckkraft der Flüssigkeit auf den Boden nicht mit der Gewichtskraft der Flüssigkeit übereinstimmt? Muss der Boden als Reaktionskraft nicht die Gewichtskraft kompensieren?

Kannst du meine Ergebnisse für h(r) und h_0 bestätigen?

Du hast ... $$h_0 = 2a - \frac{9}{16} \frac{\omega^2}{g} a^2$$ ... und ich habe ... $$\eqalign{ h_0 &= H - \frac{\omega^2}{4g} R^2 &= 2a - \frac{\omega^2}{4g} \left( \frac 32 a\right)^2 \\ &=2a - \frac{9}{16} \frac{\omega^2}{g} a^2 }$$sollte also stimmen. Vielleicht habe ich mich bei den Zahlenwerten im Plot vertan.

Ich habe ausgerechnet, dass für ω>4.18 s^-1 bereits Wasser oben aus dem Behälter ausläuft (mit der Annahme, dass der Behälter 3a hoch ist. Passt das?

Ja - sieht man ja auch im Verlauf der pinken und grünen Parabel. Bei einer Behälterhöhe von \(3a\) läuft er zwischen \(\omega = 4 \text s^{-1}\) und \(\omega = 4,7 \text s^{-1}\) über. Passt also.

Der Verlauf für h(r) ist ja nur für omega kleiner 4.17 s^-1 korrekt.

Bei beliebig hohem Behälter geht es bis \(\omega \approx 4,7 \text s^{-1}\) - siehe die pinke Parabel. Dann berührt die Parabel die Ecke vom unteren Abschnitt des Behälters.

Was passiert darüber hinaus? Du meintest es bilden sich dann 2 Paraboloide heraus. Meinst du damit einen abschnittsweise definierten Verlauf mit Knick, also so wie ich es im Bild unten rechts dargestellt habe? Das kann ich mir nur schwer vorstellen :D

'abschnittweise' Ja - 'Knick' nein. Es ist immer die selbe Parabel, bloß versetzt. Ungefähr so (qualitativ):

~plot~ (abs(x)>0.5)+9*(abs(x)>(3/2));(1.542x^2+0.6)*(abs(x)<0.5);(1.542x^2+0)*(abs(x)>0.8);[[-3|3|-0.5|4]] ~plot~

Die untere rote Parabel geht immer bis zur Ecke und die obere fängt mit einem Radius von \(\gt a/2\) erst an. Sie haben beide den selben Faktor vor dem \(r^2\) - hier \(\approx 1,542\) entspricht ca. \(\omega = 5,5 \text m^{-1}\) und \(a=1\).

Zur Druckkraft komme ich später noch.

Hallo Werner,

Bezüglich der Druckkraft ist mir folgender Zusammenhang aufgefallen:

-Bei einem Behälter mit konstantem Durchmesser D mit Höhe H (also ein Zylinder) ist die Gewichtskraft der Flüssigkeit identisch mit der Druckkraft auf den Boden.

-Bei einem Behälter wie er in dieser Aufgabe volliegt mit unterschiedlichen Durchmessern und ggf. Höhen (also ein Zylinder mit Flaschenhals) ist die Gewichtskraft nicht identisch mit der Druckkraft auf den Boden.

Warum ist das so? Die Flüssigkeit druckt doch auf den Boden. Muss die Reaktionskraft des Bodens auf die Flüssigkeit nicht immer der Gewichtskraft der gesamten Flüssigkeit entsprechen?

-Bei einem Behälter wie er in dieser Aufgabe volliegt mit unterschiedlichen Durchmessern und ggf. Höhen (also ein Zylinder mit Flaschenhals) ist die Gewichtskraft nicht identisch mit der Druckkraft auf den Boden

was führt Dich zu dieser Annahme?

Muss die Reaktionskraft des Bodens auf die Flüssigkeit nicht immer der Gewichtskraft der gesamten Flüssigkeit entsprechen?

nach 'actio gleich reactio' muss das so sein. Der Druck am Boden des Gefäßes entspricht dem statischen Druck in Abhängigkeit der Höhe \(h(r)\) der Flüssigkeit direkt oberhalb der gewählten Stelle. Der Druck nimmt also bei einem rotierenden Gefäß nach außen hin zu.

Die Druckkraft auf den Boden muss nicht mit dem Gewicht der Flüssigkeit übereinstimmen, das stimmt schon so.

Die Summe aller Druckkräfte im Behälter (also über alle Wände, Boden, ...) muss die Gewichtskraft ergeben.

Hier bei der Aufgabe drückt die Flüssigkeit ja auch über den Kreisring am oberen Teil des Behälters nach unten. Diese Kraft + die Bodenkraft ergibt die Gewichtskraft.


https://www.nanolounge.de/27632/schnell-steigt-kegelformigen-bereich-zylinders-erreicht

Hier eine kurze Theoriefrage. Ich denke du hast dafür die Lösung, nachdem du dir die Frage durchgelesen hast :D

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