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Umlaufdauer T in einem Zyklotron und ihre Abhängigkeiten
Zuerst erklären wir die Grundlagen eines Zyklotrons und wie die Umlaufdauer \(T\) mit den gegebenen Parametern zusammenhängt. Ein Zyklotron ist ein Typ eines Teilchenbeschleunigers, bei dem geladene Teilchen durch ein senkrecht zu ihrer Bewegungsrichtung stehendes magnetisches Feld eine zirkulare Bahn beschreiben. Die Zentrifugalkraft, die auf die Teilchen wirkt, wird durch die Lorentzkraft aufgrund des Magnetfelds ausgeglichen.
Umlaufdauer \(T\) unabhängig von der Bahngeschwindigkeit
Die Umlaufdauer \(T\) eines Teilchens in einem Zyklotron kann durch die Formel
\(
T = \frac{2\pi m}{qB}
\)
dargestellt werden, wobei \(m\) die Masse des Teilchens, \(q\) die Ladung des Teilchens und \(B\) die magnetische Feldstärke ist. Aus dieser Formel ist ersichtlich, dass \(T\) unabhängig von der Geschwindigkeit des Teilchens ist, solange die Masse des Teilchens und die magnetische Feldstärke (\(B\)) konstant gehalten werden.
Berechnung der Frequenz \(f\) für Protonen
Die Frequenz \(f\) eines Zyklotrons ist der Kehrwert der Umlaufdauer \(T\), also
\(
f = \frac{1}{T}
\)
Für Protonen mit Masse \(m = 1,67 \times 10^{-27}\) kg und Ladung \(e = 1,6 \times 10^{-19}\) C in einem Magnetfeld von \(B = 0,63\) T ist
\(
T = \frac{2\pi \times 1,67 \times 10^{-27}}{1,6 \times 10^{-19} \times 0,63}
\)
Kalkulation:
\(
T = \frac{2\pi \times 1,67 \times 10^{-27}}{1,008 \times 10^{-19}}
\)
\(
T \approx \frac{10,49 \times 10^{-27}}{1,008 \times 10^{-19}}
\)
\(
T \approx 10,42 \times 10^{-8} \text{s} = 1,042 \times 10^{-7} \text{s}
\)
Dann ist die Frequenz \(f\):
\(
f = \frac{1}{1,042 \times 10^{-7}} \approx 9,59 \times 10^{6} \text{Hz}
\)
Abhängigkeit von \(T\) bei relativistisch zunehmender Masse
Berücksichtigt man die relativistische Massenzunahme bei großen Geschwindigkeiten, so ändert sich die Masse des Teilchens mit seiner Geschwindigkeit. Die relativistische Masse ist durch
\(
m_{rel} = \frac{m}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}
\)
gegeben, wobei \(m\) die Ruhemasse, \(v\) die Geschwindigkeit des Teilchens und \(c\) die Lichtgeschwindigkeit ist. Dies führt dazu, dass die Umlaufdauer \(T\) bei Berücksichtigung der relativistischen Massenzunahme lautet:
\(
T_{rel} = \frac{2\pi m_{rel}}{qB} = \frac{2\pi \frac{m}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}}{qB}
\)
In dieser Formel wird ersichtlich, dass \(T_{rel}\) abhängig von der Geschwindigkeit \(v\) ist, weil die relativistische Masse \(m_{rel}\) sich mit \(v\) ändert. Somit hängt bei hohen Geschwindigkeiten, bei denen relativistische Effekte nicht vernachlässigt werden können, die Umlaufdauer \(T\),
im Gegensatz zur klassischen Betrachtung, von der Geschwindigkeit ab.
