Antwort mit KI erzeugt
a) Zeigen, dass \(\theta(t) = C_1 \cdot \exp(-t/\text{Zeitkonstante})\) die allgemeine Lösung der Differentialgleichung ist
Zunächst ist die gegebene Differentialgleichung \( \frac{d\theta}{dt} + \frac{1}{\text{Zeitkonstante}} \cdot \theta = 0 \).
Um zu zeigen, dass \(\theta(t) = C_1 \cdot \exp(-t/\text{Zeitkonstante})\) eine Lösung ist, müssen wir diese Funktion in die Differentialgleichung einsetzen und prüfen, ob die Gleichung erfüllt wird.
Differenziere \(\theta(t)\) bezüglich \(t\):
\( \frac{d\theta(t)}{dt} = \frac{d}{dt}[C_1 \cdot \exp(-t/\text{Zeitkonstante})] = C_1 \cdot \frac{d}{dt}[\exp(-t/\text{Zeitkonstante})] \)
Die Kettenregel anwenden:
\( = C_1 \cdot \exp(-t/\text{Zeitkonstante}) \cdot \frac{-1}{\text{Zeitkonstante}} = -\frac{C_1}{\text{Zeitkonstante}} \cdot \exp(-t/\text{Zeitkonstante}) \)
Ersetzen wir \(\frac{d\theta(t)}{dt}\) und \(\theta(t)\) in der Gleichung:
\( -\frac{C_1}{\text{Zeitkonstante}} \cdot \exp(-t/\text{Zeitkonstante}) + \frac{1}{\text{Zeitkonstante}} \cdot (C_1 \cdot \exp(-t/\text{Zeitkonstante})) = 0 \)
Es zeigt sich, dass beide Terme sich gegenseitig aufheben, was die Gleichung zu \(0 = 0\) macht, was bestätigt, dass \(\theta(t) = C_1 \cdot \exp(-t/\text{Zeitkonstante})\) tatsächlich eine allgemeine Lösung der Differentialgleichung ist.
b) Bestimmen Sie die spezielle Lösung der Diff. Gleichung aus einer geeigneten Anfangsbedingung
Gegeben ist \(\theta_{W0} = 12\) Celsius als Anfangstemperatur des Weißbiers und \( \theta_{\infty} = 32 \) Celsius als Außentemperatur.
\(\Theta := \theta_{\infty} - \theta_{W} = 32 - \theta_{W}\)
Die Anfangsbedingung bei \(t = 0\) ist \(\theta_W(0) = 12\) Celsius. Es gilt:
\(
\theta(0) = C_1 \cdot \exp(0) = C_1
\)
Wir wollen \(C_1\) so bestimmen, dass:
\(
32 - 12 = 20 = C_1
\)
Damit wird die spezielle Lösung der Differentialgleichung:
\(
\theta(t) = 20 \cdot \exp(-t/10000)
\)
c) Welche Temp \(\theta_{W1}\) hat das Weißbier nach \(t_1=45\) min
Umrechnung von Minuten in Sekunden: \(t_1 = 45 \text{ min} = 45 \cdot 60 \text{ s} = 2700 \text{ s}\).
Einsetzen von \(t_1\) in die spezielle Lösung:
\(
\theta_{W1} = 20 \cdot \exp(-2700/10000) + 12
\)
Berechnung des Ausdrucks:
\(
\theta_{W1} = 20 \cdot \exp(-0.27) + 12 \approx 20 \cdot 0.763 + 12 \approx 15.26 + 12 = 27.26
\)
Die Temperatur des Weißbiers nach 45 Minuten beträgt ungefähr \(27.26\) Celsius.
