Harmonische Schwingung : Amplitude, Phase , Kreisfrequenz berechnen

Question

Sei  y=A•sin(ω•t+φ) mit A>0 , ω>0, t>0.

Das erste Maximum ist gleich 4 cm und wird nach t1=3 sek. erreicht.

Die erste Nullstelle wird nach t2=6,55 sek. erreicht.

Bestimmen Sie Lösungen für A , ω und φ.

FRAGE : Ich komme bei dieser Aufgabe irgendwie nicht mit der Berechnung der Periodendauer T weiter. Diese Größe brauche ich ja zur Berechnung von ω mit der Formel ω = 2π/T....

Laut der Lösung meines Professors soll für T= 4•(6,55-3)=14 herauskommen. Weiß vielleicht jemand wie man darauf kommt?

Answer 1

Hi,

das \(A=4\) ist sollte klar sein. Alles was wir brauchen ist nur der Vergleich mit der normalen Sinusfunktion \(\sin(x)\) für \(x>0\).

Das 1. Maximum (also auf den positiven reellen Zahlen) wird ja bei \(x = \frac{\pi}{2} \) angenommen. Die erste Nullstelle liegt bei \(x = \pi\).

Somit haben wir 2 Gleichungen:

$$I: \  \omega \cdot 3 + \varphi = \frac{\pi}{2} \\ II: \omega \cdot 6,55 + \varphi = \pi $$

Damit kommt man dann auf:

$$ \omega = \frac{\pi}{2 \cdot(6,55 - 3)} , \quad \varphi = \frac{\pi}{2}-\frac{3\pi}{7,1} = \frac{11\pi}{142}$$

Ich hab \(\omega\) mal extra so geschrieben, damit du schneller mit deiner Formel auf die Lösung vom Prof kommst.

Gruß

Comments

Wie kommst du denn auf ω? Was ist das für eine Formel ? Kann das leider absolut nicht nachvollziehen. Verstehe die komplette Rechnung vom Prof bis auf den Teil wo man die Periodendauer berechnet

---

Das ist keine Formel sondern einfach die Lösung. Oben steht "Du hast 2 Gleichungen" außerdem hast du 2 Unbekannte. Wie man ein solches Gleichungssystem löst sollte doch eigentlich bekannt sein?

Beispielsweise: Du ziehst von der 2. Gleichung die 1. ab und löst nach \(\omega\) auf.

Der Gedanke hinter der Lösung von deinem Prof:

Die Periodendauer ist das 4-fache vom zeitlichen Unterschied zwischen Maximum und nächster Nullstelle. Das ist bei der Sinusfunktion der Form \(\sin(ax+b) \) immer so, was sich leicht beweisen lässt. (bei der cosinusfunktion ebenso).

---

Ah klar ! sorry komplett aufm schlauch gestanden :/ VIELEN DANK !

---

Kein Thema gerne :)