Antwort mit KI erzeugt
Die Lösung des Problems lässt sich in zwei Teile gliedern:
1.
Bestimmung der Dämpfungskonstante \( \delta \):
Um die maximale Amplitude zu bestimmen, müssen wir zuerst die Dämpfungskonstante \( \delta \) des Systems berechnen. Gegeben ist, dass die Amplitude des Körpers nach 5 Schwingungsperioden auf 1% der Anfangsamplitude abgeklungen ist. Die Dämpfung der Amplitude \( A \) in Abhängigkeit der Zeit \( t \) in einem gedämpften harmonischen Oszillator wird durch
\( A(t) = A_0 e^{-\delta t} \)
ausgedrückt, wobei \( A_0 \) die Anfangsamplitude ist.
Given:
- \(A(t) = 0.01 A_0\) (1% der Anfangsamplitude)
- Die Zeit \(t\) entspricht 5 Perioden, also \(t = \frac{5}{\nu_{1}}\).
Daraus folgt:
\( 0.01 A_0 = A_0 e^{-\delta \frac{5}{\nu_{1}}} \)
Lösen für \( \delta \) ergibt:
\( \ln(0.01) = -\delta \frac{5}{\nu_{1}} \)
\( \delta = -\frac{\nu_{1} \ln(0.01)}{5} \)
Mit \( \nu_{1} = 1.250 \) Hz ergibt sich:
\( \delta = -\frac{1.250 \ln(0.01)}{5} = -\frac{1.250 \cdot (-4.605)}{5} \approx 1.151 \) Hz.
2.
Bestimmung der maximalen Amplitude und der notwendigen Erregerfrequenz \( \nu_{c, r} \):
Die maximale Amplitude eines gedämpft schwingenden Körpers, der von einer externen Kraft angeregt wird, tritt in der Resonanzfrequenz auf. Die Resonanzfrequenz eines gedämpften harmonischen Oszillators ist gegeben durch:
\( \nu_{\text{res}} = \sqrt{\nu_{0}^2 - \delta^2} \)
wobei \( \nu_{0} \) die natürliche Frequenz des Systems ist und \( \delta \) die Dämpfungskonstante. Die natürliche Frequenz \( \nu_{0} \) ist gleich der Frequenz \( \nu_{1} \), da der Körper, wenn nicht extern angeregt, harmonisch mit dieser Frequenz schwingt.
Somit erhalten wir:
\( \nu_{\text{res}} = \sqrt{1.250^2 - 1.151^2} = \sqrt{1.5625 - 1.325601} \approx 0.487 \) Hz.
Um die maximale Amplitude bei dieser Resonanzfrequenz zu bestimmen, muss man die spezifische Antwortfunktion des Systems auf die Erregung kennen. Für gedämpfte Systeme ist die Amplitude an der Resonanz deutlich höher als die Amplitude außerhalb der Resonanz, aber die genaue Bestimmung hängt von zusätzlichen system-spezifischen Parametern ab, wie der Masse des Körpers und der Kraftamplitude \( F_0 \). Ohne genauere Informationen über das System (z. B. die Masse des Körpers oder die Federkonstante) können wir keine spezifische maximale Amplitude berechnen. Die Frage, wie groß die maximale Amplitude werden kann, lässt sich mit den gegebenen Informationen (ohne Angaben zur Masse des Körpers oder der spezifischen Kraftamplitude) nicht exakt beantworten.
Die Erregerfrequenz \( \nu_{c, r} \), bei der die maximale Amplitude erreicht wird, ist die Resonanzfrequenz, die wir als \( \nu_{\text{res}} \approx 0.487 \) Hz berechnet haben.
