Wie gross ist der Längenausdehnungskoeffizient von Messing, wenn sich ein Stab der Länge 1,2m bei Erwärmung von 18°C …

Question

Hey

Es betrifft zwar eher Physik, aber ich hoffe, Sie können mir trotzdem helfen. Die Aufgabe lautet:

Wie gross ist der Längenausdehnungskoeffizient von Messing, wenn sich ein Stab der Länge 1,2m bei Erwärmung von 18°C auf 98°C um 2,05mm verlängert?

Ich habe jetzt die Formel L=L0(1+Alpha x Differenz Temperatur) gebraucht, aber ich bin leider nie auf das richtige Resultat gekommen. Das Resultat sollte 0,0000214 (1/°C) geben.

Ich hoffe, Sie können mir helfen.

Answer 1

Besser du schickst was du gerechnet hast! häufigster Fehler sind die Einheiten, also zuerst alle Längen in dieselbe Einheit m. cm oder mm verwandeln

dann hast du L-L0=2,05mm=L0*α*80°

also α=2,05mm/(1200mm*80°)

nächstes mal schreib was genau du gemacht hast um deinen Fehler zu finden, dann lernst du mehr

Gruß lul

Comments

Vielen Dank für deine Antwort. Ich hab so gerechnet:

1202,05 = 1200 (1 + Alpha x 80) | -1200

2,05= 1 + Alpha x 80 | -1 | :80

1,05/80 = Alpha

So wie du es aber vorgeschlagen hast, könnte man da einfach die Formel a = (L-L0) / (L0 x Differenz T) brauchen?

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Hallo

nein dein und meine Formel ist 1202,05 = 1200 (1 + Alpha x 80)

aber im nächsten Schritt hast du die Klammer nicht berücksichtig, also  steht

L-L0=L0*α*80

lul

Answer 2

Aloha :)

Die Aufgabe ist gemein. Die thermische Ausdehnung verläuft natürlich exponentiell:$$L=L_0\cdot e^{\alpha\cdot\Delta T}\;\Rightarrow\;\frac{L}{L_0}=e^{\alpha\cdot\Delta T}\;\Rightarrow\;\alpha\Delta T=\ln\left(\frac{L}{L_0}\right)\;\Rightarrow\;\alpha=\frac{1}{\Delta T}\ln\left(\frac{L}{L_0}\right)$$$$\alpha=\frac{1}{98^\circ\mathrm C-18^\circ\mathrm C}\ln\left(\frac{1,2\,\mathrm m+0,00205\,\mathrm m}{1,2\,\mathrm m}\right)=\boxed{2,1336\cdot10^{-5}\,\frac{1}{1^{\circ} \mathrm C}}$$

Du hast die lineare Näherung der Exponentialfunktion verwendet:$$L=L_0\cdot e^{\alpha\cdot\Delta T}\approx L_0(1+\alpha\cdot\Delta T)\quad\text{für }\alpha\cdot\Delta T\ll 1$$Diese gilt leider nur für kleine Temperaturdifferenzen \(\Delta T\) und liefert hier ein völlig falsches Ergebnis.

Comments

Vielen herzlichen Dank für deine Antwort, du hast mir damit sehr geholfen :) Du hast mich gerade echt gerettet, wirklich tausendmal Danke :D

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Hallo

die lineare Näherung gilt in dem Bereich sehr gut und wird in der Praxis fast immer verwendet  du sagst selbst α*ΔT<<1 hier α*ΔT<2*10^-3, auf der Schule etwa betrachtet man nur das lineare Gesetz . Auch die angegebene Lösung stimmt mit der linearen Näherung überein weit entfernt von völlig falsch

Gruß lul

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Aloha lul ;)

Exakte Rechnung liefert: \(\alpha=2,1336\cdot10^{-5}\,\mathrm K^{-1}\)

Lineare Näherung liefert: \(\alpha=2,5625\cdot10^{-5}\,\mathrm K^{-1}\)

Die lineare Näherung weicht also um \(20\%\) von der exakten Lösung ab. Diese Näherung ist für mich nicht "sehr gut". Mein Physik-Studium ist aber auch schon fast 30 Jahre her, vielleicht haben sich die Anforderungen an "sehr gut" ja mittlerweile geändert.

Viele Grüße

Tschaka

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Vielen Dank für Ihre Antworten, das hat mir wirklich sehr viel gebracht :) Uns wurde nur die Formel gezeigt, die ich verwendet habe, das exakte Ergebnis wird aber gefordert. Jetzt hab ich aber die exakte Formel gelernt und ich werde diese morgen im Test auch anwenden :D