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Berechnen der Energie in Joule und Elektronenvolt
Um die Energie der verschiedenen Strahlungen zu berechnen, nutzen wir die Formel für die Energie eines Photons:
\(
E = hf = \frac{hc}{\lambda}
\)
Dabei ist \(E\) die Energie des Photons, \(h\) ist das Planck'sche Wirkungsquantum (\(6,62607015 \times 10^{-34}\) m²kg/s), \(f\) ist die Frequenz der Strahlung, \(c\) ist die Lichtgeschwindigkeit (\(3 \times 10^{8}\) m/s), und \(\lambda\) ist die Wellenlänge der Strahlung.
Für die Röntgenstrahlung mit \(\lambda = 1,0\text{nm} = 1,0 \times 10^{-9}\text{m}\), berechnen wir die Energie wie folgt:
\(
E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6,62607015 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{1,0 \times 10^{-9}} = 1,987821145 \times 10^{-16} \text{J}
\)
Um die Energie in Elektronenvolt umzurechnen, nutzen wir die Relation, dass \(1\text{eV} = 1,602176634 \times 10^{-19}\text{J}\), daher:
\(
E = \frac{1,987821145 \times 10^{-16}}{1,602176634 \times 10^{-19}} \approx 1241,37 \text{eV}
\)
Aufgabe 2a: Berechnen Sie die Austrittsgeschwindigkeit für Kalium
Gegeben ist die maximale kinetische Energie \(E_{\text{kin}} = 2,03\text{eV}\). Um diese in Joule umzurechnen:
\(
E_{\text{kin}} = 2,03\text{eV} \times 1,602176634 \times 10^{-19}\text{J/eV} = 3,252380289 \times 10^{-19}\text{J}
\)
Die kinetische Energie ist auch definiert als \(E_{\text{kin}} = \frac{1}{2}mv^2\), wobei \(m\) die Masse des Elektrons (\(9,10938356 \times 10^{-31}\text{kg}\)) und \(v\) die Geschwindigkeit ist. Um \(v\) zu finden:
\(
3,252380289 \times 10^{-19}\text{J} = \frac{1}{2} \cdot 9,10938356 \times 10^{-31}\text{kg} \cdot v^2
\)
\(
v^2 = \frac{3,252380289 \times 10^{-19}\text{J}}{0,5 \cdot 9,10938356 \times 10^{-31}\text{kg}}
\)
\(
v = \sqrt{\frac{3,252380289 \times 10^{-19}}{4,55469178 \times 10^{-31}}} = \sqrt{7,138028728 \times 10^{11}} \approx 8,45 \times 10^{5}\text{m/s}
\)
Aufgabe 2b: Berechnen Sie die Energie der einfallenden Photonen
Da die Wellenlänge des Lichts \(\lambda = 300\text{nm} = 300 \times 10^{-9}\text{m}\) ist, verwenden wir die obige Formel zur Berechnung der Energie:
\(
E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6,62607015 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{300 \times 10^{-9}} = 6,62607015 \times 10^{-19}\text{J}
\)
Umzurechnen in Elektronenvolt:
\(
E = \frac{6,62607015 \times 10^{-19}}{1,602176634 \times 10^{-19}} \approx 4,14\text{eV}
\)
Aufgabe 2c: Berechnen Sie den Grenzwert der Spannung
Dies bezieht sich auf die Stoppspannung, die durch die Gleichung \(E = eV\) gegeben ist, wobei \(e\) die elementare Ladung (\(1,602176634 \times 10^{-19}\) C) und \(V\) die Spannung ist. Die Energie der einfallenden Photonen bei \(\lambda = 430\text{nm}\) ist:
\(
E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6,62607015 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{430 \times 10^{-9}} = 4,619649042 \times 10^{-19}\text{J}
\)
Die Spannung ist daher:
\(
V = \frac{E}{e} = \frac{4,619649042 \times 10^{-19}}{1,602176634 \times 10^{-19}} \approx 2,88\text{V}
\)
Aufgabe 2d: Berechnen Sie die Grenzwellenlänge des Fotoeffekts für Kalium
Die Austrittsarbeit für Kalium ist durch die maximale kinetische Energie gegeben, hier umgerechnet in Joule. Um die Grenzwellenlänge zu finden, nutzen wir:
\(
\lambda_{\text{grenz}} = \frac{hc}{E_{\text{kin}}}
\)
Da \(E_{\text{kin}} = 2,03\text{eV} = 3,252380289 \times 10^{-19}\text{J}\), erhalten wir:
\(
\lambda_{\text{grenz}} = \frac{6,62607015 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{3,252380289 \times 10^{-19}} \approx 6,10 \times 10^{-7}\text{m} = 610\text{nm}
\)
Zusammengefasst, haben wir die geforderten Berechnungen durchgeführt, um die Energie der Strahlung, die Austrittsgeschwindigkeit der Elektronen aus Kalium, die Energie der einfallenden Photonen, den Grenzwert der Spannung und die Grenzwellenlänge für den Fotoeffekt in Kalium zu bestimmen.
