Ich habe ein Problem mit der folgenden Aufgabe aus dem Fach Theoretische Elektrotechnik bzw. Theoretische Physik:
Eine Ladung \( \mathrm{Q}>0 \) sei homogen entlang der \( z \)-Achse im Vakuum verteilt und bildet so die Linienladungsdichte \( \rho_{\mathrm{L}} \). Aus der Translationsinvarianz der Anordnung ist bekannt, dass die Greensche Funktion für das elektrische Potential nicht von Variablen in \( z \)-Richtung abhängen kann. Das Potential berechnet sich daher wie bei einem zweidimensionalen Problem in einer \( \rho-\phi \)-Ebene ohne Randbedingungen im Endlichen. Leiten Sie ausgehend von der Poisson-Gleichung und mit Hilfe des Gaußschen Satzes die Greensche Funktion her.
Die Lösung dazu ist:
\( \mathrm{G}\left(\vec{r}, \vec{r}^{\prime}\right)=-\frac{\ln (\rho / \mathrm{m})}{2 \pi \varepsilon_{0}} \)
Was mit bisher gelang: Ich konnte mit Hilfe des Coulomb-Gauß-Integrals das Potenzial berechnen:
\( \phi(\rho)=-\frac{\rho_{L} ln( \rho )}{2 \pi \varepsilon_{0}} \)
Zu exakt demselben Ergebnis komme ich, wenn ich stattdessen die Laplace-Gleichung und die Poisson-Gleichung löse.
Um allerdings die Greensche Funktion zu berechnen, fehlt mir jegliche Fantasie.
Ich kann lediglich mit dem Ansatz dienen:
\( \Delta G=\delta(\rho) \)
Vielen Dank für eure Hilfe.