Steighöhe berechnen (Kapillarität )

Question

Hallo Ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter :

Aufgabe:

Der Innenradius einer L = 20 cm langen Glas-Kapillare ist an einem Ende sehr klein (kann
fur die Rechnung als  r₁ = 0 genähert werden) und vergrößert bis zum anderen Ende linear
auf r₂ = 2, 0 mm. Das enge Ende wird von oben auf den Wasserspiegel in einem Gefäß
aufgesetzt, sodass Wasser eindringt.

Wie hoch steigt es in der Kapillare? 
Daten: Dichte und Oberflächenspannung von Wasser: ρ_W = 1000 kg/m³, σ_O = 73·10⁻³ N/m.

Problem/Ansatz:

Die Formel lautet : 
h = 2σ /(r ρ g )

Mein Gedanke nun hierzu :
Da der Radius linear ansteigt von r₁ bis r₂  dache Ich an eine Integral Rechnung über r.
Mein Problem ist jetzt aber wenn ich die Formel über r integriere dann habe ich ein einheitenloses Ergebnis.
Wegen dem " als r₁ = 0 genährt werden " dachte ich auch daran dass kleine Ende mit dem lim zu berechnen jedoch kam da ∞ raus.

Hat jemand Vorschläge wie Ich hier vorgehen muss??

Mit freundlichen Grüßen mikroNewton

Comments

Was ich vergessen habe zu erwähnen 

Ich habe auch an folgendes gedacht :

h = 2σ /( (∫1)  ρ g ) dr

Das Integral von r₁ bis r₂  .

Jedoch ist das Ergebnis des Integrals einfach nur 2mm und das wäre dann das selbe wie wenn Ich einfach nur 2mm für eingesetzt hätte und das kann nicht sein, da die Steighöhe h  höher ist als wenn man nur r = 2mm einsetzt.

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Oh mein Gott kann es sein dass es sich hierbei nicht um einen Zylinder handelt sondern einfach um einen Kreiskegel und man nun die Formel dementsprechend umschreiben muss aber dennoch r = 2mm nutzt ?

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Hallo
nur angedacht: das Wasser steigt nicht mehr, wenn der Zuwachs an Gewicht pro Höhe =dem Zuwachs an Oberflächenspannung pro Höhe ist.

das integrieren über h ist sicher nicht sinnvoll, da es ja die Höhe in einem Rohr mit festem Radius ist.
Gruß lul