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Hallo stehe bei folgender Aufgabe total auf dem Schlauch.


Aufgabe:

Betrachten Sie einen Lichtstrahl, der sich durch ein ebenes, inhomogenes Medium mit dem Brechnungsindex n(x) = λx bewegt.
Hierbei bezeichnet λ einen reellen Parameter.

a.) Wie lautet das Funktional für die Laufzeit des Lichtstrahls zwischen zwei Punkten ?


b.) Welche funktionale Gestalt haben die Bahnkurven des Lichts in diesem Medium ?

Hinweis : es gilt ∫ 1/ (x²-a² ) dx  = Arcosh (x/a) und Arcosh(x) ist die Umkehrfunktion von cosh(x).


Problem/Ansatz/Niveau:


a.) Für die Bahn zwischen den zwei Punkten x(t1) und x(t2) gilt :   t [X] = 1/c * ∫   λ*x(t) * (c²+ ( x´(t) ²))^(1/2)  dt  mit den integrals grenzen von t1 bis t2  

b.) Jedoch weiß ich überhaupt nicht ich die b.) machen soll / angehen soll. Nur wegen des Hinweises komme ich drauf dass es sich um gekrümmte Bahnkurven handeln muss aber das war es schon.



Liebe Grüße

Kevin

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Hallo

 wie du auf dein t(x) kommst verstehe ich nicht, aber da stet ja auch x(t), x'(t) drin  drin das nicht gegeben ist sondern nur n(x) wie hängt denn c von x ab , steht da nirgends was genaueres über lambda, für x=0 n=0 ist für mich eigenartig.

ist x auch die Ausbreitungsrichtung oder senkrecht dazu?

Gruß lul

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Hallo,

jetzt heißt es: Varationsrechnung machen, also Euler-Lagrange Gleichungen aufstellen und lösen.

Hier auf der Seite wird es allgemein hergeleitet:

http://www.dartmouth.edu/~phys44/lectures/Chap_1.pdf

Das gibt dann:

n(x)=√(1+x'^2)

λx=√(1+x'^2)

√(λ^2 x^2-1)=x'=dx/dt

dt=dx/√(λ^2 x^2-1) und jetzt kannst du beide Seiten integrieren, dabei verwendest du rechts das vorgegebene Integral (vorher noch λ^2 x^2=u^2 substituieren)

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