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Amplitude unter Resonanzbedingungen
Um die Amplitude unter den Resonanzbedingungen zu finden, müssen wir zuerst verstehen, was Resonanz in diesem Kontext bedeutet. Resonanz tritt auf, wenn die Frequenz der erzwungenen Schwingung (\(\omega\)) gleich der natürlichen Frequenz des Systems (\(\omega_{o}\)) ist. Das bedeutet \(\omega = \omega_{o}\).
Die Gleichung für die Amplitude \(x_{m}\) vereinfacht sich unter Resonanzbedingungen (\(\omega = \omega_{o}\)) zu:
\(
x_{m}=\frac{F_{e q}}{\sqrt{m^{2}\left(\omega_{o}^{2}-\omega_{o}^{2}\right)^{2}+b^{2} \omega_{o}^{2}}}
\)
Da \(\omega_{o}^{2} - \omega_{o}^{2} = 0\), vereinfacht sich die Gleichung weiter zu:
\(
x_{m}=\frac{F_{e q}}{b \omega_{o}}
\)
Das ist die Amplitude unter Resonanzbedingungen.
Geschwindigkeitsamplitude unter Resonanzbedingungen
Die Geschwindigkeit eines oszillierenden Gegenstands kann durch die Ableitung seiner Position nach der Zeit bestimmt werden. Die Position des Gegenstands als Funktion der Zeit in einer harmonischen Bewegung kann typischerweise als \(x(t) = x_{m} \sin(\omega t + \phi)\) ausgedrückt werden, wobei \(\phi\) die Phasenverschiebung darstellt. Die Geschwindigkeit \(v(t)\) ist die Ableitung von \(x(t)\) nach der Zeit \(t\):
\(
v(t) = \frac{d}{dt} [x_{m} \sin(\omega t + \phi)] = \omega x_{m} \cos(\omega t + \phi)
\)
Unter Resonanzbedingungen ist die Amplitude der Geschwindigkeit (\(v_{m}\)) dann das Maximum von \(v(t)\), wobei \(\cos(\omega t + \phi)\) maximal 1 sein kann. Daher:
\(
v_{m} = \omega x_{m} = \omega \left(\frac{F_{e q}}{b \omega_{o}}\right)
\)
Da unter Resonanzbedingungen \(\omega = \omega_{o}\) ist, erhalten wir:
\(
v_{m} = \frac{F_{e q}}{b}
\)
Zusammenfassung:
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Amplitude unter Resonanzbedingungen: \(x_{m} = \frac{F_{e q}}{b \omega_{o}}\)
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Geschwindigkeitsamplitude unter Resonanzbedingungen: \(v_{m} = \frac{F_{e q}}{b}\)
