Auto und Motorrad: Wieviel ist der minimale Abstand - Wie Abstandsfunktion aufstellen?

Question

Ein Autofahrer mit Wagen A möchte sich in den Autobahnverkehr einfädeln. Sein Wagen kann innerhalb von t_A = 15 s aus dem Stand heraus auf v_A = 150 km/h, konstant und ohne Unterbrechung, beschleunigen. Ein Motorrad B nähert sich von hinten ohne zu überholen mit einer konstanten Geschwindigkeit von v_M = 120 km/h, und bewegt sich in dieselbe Richtung, in die auch der Wagen fahren möchte.

Aufgaben:

a) Zu welchem Zeitpunkt t_min nach dem Anfahren findet die grösste Annäherung statt, wenn der Wagen A zum Zeitpunkt t = 0 anfährt?

b) Und welchen Abstand s₀ muss das Motorrad B mindestens vom Wagen A zum Zeitpunkt des Anfahrens haben, damit der Sicherheitsabstand von s_min = 150 m nie unterschritten wird?

c) Zeichnen Sie den Ort von A und B als Funktion der Zeit in ein Diagramm. Benutzen Sie s0 als Abstand zwischen A und B zur Zeit t = 0.

Fragen:

zu a)
Ich wollte den Abstand als eine Art Abstandsfunktion darstellen, nullsetzen und Ableiten, dann bekäme ich ein Minima oder Maxima. Weiss aber nicht, wie das geht. Etwa gleichstellen und dann alles auf eine Seite nehmen ? 

Einzeln bekomme ich:

Auto:
s_A = 1/2 * a * t² + v_A * t  I Da das Auto 15 s beschleunigt setze ich 15 s im ersten teil ein und erhalte
s_A = 315m + v_A * t 

Motorrad:
s_M = v_M * t

Abstand ist sA - sM

f_Abstand (t) = s_A -  s_M = 315m + v_A * t - v_M * t = 315m + t*(v_A - v_M)

f'_Abstand (t) = v_A-v_M 

Hier kann ich die Zeit also nicht bestimmen. Weil nach Ableitung das t wegfällt. 

Kann mir jemand helfen?

Answer 1

Hallo limonade,

Du hast vielleicht in der Aufgabestellung den kleinen Zusatz '.. von hinten ..' übersehen. Es hilft, sich die Situation wirklich bildlich vorzustellen. Wenn der Motorradfahrer sich zum Zeitpunkt \(t=0\) bei \(s=0\) befindet, da \(s_M=v_M\cdot t\), dann hat der Autofahrer schon einen Vorsprung von \(s_0\). Seine Bewegungsgleichung lautet also

$$s_A= \frac12 a t^2 + v_0t + s_0 \quad \Rightarrow s_A(t=0) = s_0$$

wobei lt. Aufgabestellung \(v_0=0\) ist. Aus der Bedingung, dass \(v(t=15\text{s})=150 \text{km/h}\) ist, folgt dann

$$v_A(t) = at + v_0 \\ v_A(t=15\text{s}) = a \cdot 15\text{s} + 0= 150 \text{km/h} \quad \Rightarrow a = 10 \frac{\text{km}}{\text{hs}}$$

Lass Dich von der komischen Einheit nicht verwirren; \(a\) ist immer noch eine Beschleunigung. Du siehst gleich, dass das einige Rechnerei erspart. Wenn Du nun die Differenz betrachtest:

$$\Delta s= s_A-s_M = \frac12 a t^2 + s_0 - v_M t$$

und diese nach \(t\) differenzierst und zu 0 setzt:

$$\Delta s' = at_x - v_M = 0 \quad \Rightarrow t_x = \frac{v_M}{a} = \frac{120 \frac{\text{km}}{\text{h}} }{10 \frac{\text{km}}{\text{hs}}} = 12\text{s}$$

Das Ergebnis macht absolut Sinn, da die größte Annäherung genau dann eintritt, wenn das Auto die Geschwindigkeit des Mototorrads erreicht hat. Und die Geschwindigkeit des Autos steigt lt. Vorgabe linear an. Wenn in 15s 150km/h erreicht werden, müssen es also in 12s 120km/h sein.

Der Rest sollte kein Problem für Dich sein. Wobei ich Dir empfehlen würde, das Zeit-Weg-Diagramm im Vorfeld zumindest zu skizzieren. Dann werden die Zusammenhänge deutlicher. Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.