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Bestimmung der Funktionen für Normalkraft \(N\), Querkraft \(Q\) und Moment \(M\) unter Berücksichtigung einer Streckenlast
Um die Funktionen für Normalkraft \(N\), Querkraft \(Q\) und Moment \(M\) entlang eines Trägers zu bestimmen, der eine veränderliche Streckenlast wie in der gegebenen Aufgabenstellung erlebt, muss man schrittweise vorgehen. Die Angaben für die Streckenlast und die Abgrenzung des betrachteten Bereichs sind entscheidend für die Berechnung.
Aus der Aufgabe geht hervor, dass eine Streckenlast vorhanden ist, die über den Träger variiert. Für die analytische Behandlung solcher Probleme teilen wir den Balken in Abschnitte, innerhalb derer die Lastbedingungen konstant sind oder linear variieren.
Für den ersten Bereich, von einem Punkt bei \(x=0\) bis zum Moment bei \(x=x_1\), nehmen wir an, dass die Streckenlast linear steigt oder konstant ist, wie es die Aufgabestellung suggeriert.
Normalkraft \(N\)
Für einen horizontalen Träger, der senkrecht zu seiner Achse belastet wird, ist die Normalkraft in dem Träger normalerweise null, da keine axiale Belastung vorliegt. Daher wird \(N\) in diesem Fall normalerweise nicht weiter betrachtet.
Querkraft \(Q\) und Moment \(M\)
Zunächst bestimmen wir die resultierende der Streckenlast in diesem Bereich. Die Streckenlast wird üblicherweise mit \(q(x)\) bezeichnet und kann linear oder konstant sein. Ohne eine explizite Funktion für \(q(x)\) kann ein allgemeiner Ansatz gegeben werden, aber in Ihrem Fall scheint es, dass \(q(x) = q_0\) (konstant) über den Bereich bis \(x_1\) ist.
1.
Querkraft \(Q(x)\):
Die Querkraft in einem Bereich kann durch Integration der Streckenlast über diesen Bereich gefunden werden, beginnend vom linken Rand (unter der Annahme, dass es keine weiteren Lasten oder Auflagerreaktionen zwischen dem Anfang des Balkens und dem aktuellen Punkt \(x\) gibt). Wenn \(q(x)\) konstant ist, vereinfacht sich die Integration zu \(Q(x) = -q_0 \cdot x + C_1\), wobei \(C_1\) eine Integrationskonstante ist, die durch die Randbedingungen bestimmt wird. Das Vorzeichen ist negativ, da eine nach unten gerichtete Streckenlast eine Verringerung der Querkraft, wenn man sich entlang \(x\) bewegt, bedeutet.
2.
Biegemoment \(M(x)\):
Das Biegemoment kann durch eine weitere Integration der Querkraftfunktion gefunden werden. Unter Verwendung der obigen Querkraftfunktion \(Q(x)\) ergibt sich für das Moment \(M(x) = -\frac{q_0}{2} \cdot x^2 + C_1 \cdot x + C_2\), wobei \(C_2\) eine weitere Integrationskonstante ist.
Bestimmung der Konstanten \(C_1\) und \(C_2\):
Die Konstanten \(C_1\) und \(C_2\) können durch Berücksichtigung der Randbedingungen oder spezifischer Punkte auf dem Träger, für die Informationen bekannt sind, bestimmt werden. Typischerweise würde man die Bedingungen an den Auflagerpunkten nutzen, wie die Tatsache, dass das Moment an einer freien Stelle null ist oder die Querkraft an einem Auflager bekannt sein kann basierend auf den Auflagerreaktionen, die durch das Gleichgewicht der vertikalen Kräfte bestimmt werden.
Ohne spezifische Werte für die Last \(q_0\), die Längen \(x_1\) und \(x_2\), oder für Auflagerreaktionen kann der Berechnungsprozess nicht weiter spezifiziert werden. Jedoch ist dieser Ansatz der allgemeine Weg, wie man für einen gegebenen Bereich unter einer Streckenlast Querkraft und Momentenverteilungen bestimmt.
