Antwort mit KI erzeugt
Lösung zur Wellen-Physikaufgabe
Um die Winkel für die Maxima 1. und 2. Ordnung zu berechnen, verwenden wir die Gittergleichung:
\(
d \cdot \sin(\theta) = n \cdot \lambda
\)
wo \(d\) die Gitterkonstante ist (der Abstand zwischen den Gitterspalten), \(\theta\) der Beugungswinkel (relativ zur Normalen des Gitters, also der ursprünglichen Lichtausbreitungsrichtung), \(n\) die Ordnung des Maximums (1, 2, ...) und \(\lambda\) die Wellenlänge des Lichts.
Zuerst müssen wir die Gitterkonstante \(d\) in Metern umrechnen. Es gibt 750 Spalten pro Millimeter, also:
\(
d = \frac{1 \, \text{mm}}{750} = \frac{1 \times 10^{-3} \, \text{m}}{750} = \frac{1}{750000} \, \text{m} = 1.33 \times 10^{-6} \, \text{m}
\)
Jetzt berechnen wir die Winkel für die kleinste (\(\lambda_{min} = 390 \, \text{nm} = 390 \times 10^{-9} \, \text{m}\)) und größte (\(\lambda_{max} = 780 \, \text{nm} = 780 \times 10^{-9} \, \text{m}\)) Wellenlänge für die erste und zweite Ordnung (\(n = 1\) und \(n = 2\)).
Für \(n = 1\) (1. Ordnung):
- Für \(\lambda_{min}\):
\(
\sin(\theta_{min,1}) = \frac{n \cdot \lambda_{min}}{d} = \frac{1 \cdot 390 \times 10^{-9}}{1.33 \times 10^{-6}} \approx 0.2932
\)
\(
\theta_{min,1} = \arcsin(0.2932) \approx 17.0^\circ
\)
- Für \(\lambda_{max}\):
\(
\sin(\theta_{max,1}) = \frac{n \cdot \lambda_{max}}{d} = \frac{1 \cdot 780 \times 10^{-9}}{1.33 \times 10^{-6}} \approx 0.5865
\)
\(
\theta_{max,1} = \arcsin(0.5865) \approx 35.7^\circ
\)
Für \(n = 2\) (2. Ordnung):
- Für \(\lambda_{min}\):
\(
\sin(\theta_{min,2}) = \frac{n \cdot \lambda_{min}}{d} = \frac{2 \cdot 390 \times 10^{-9}}{1.33 \times 10^{-6}} \approx 0.5865
\)
\(
\theta_{min,2} = \arcsin(0.5865) \approx 35.7^\circ
\)
- Für \(\lambda_{max}\):
\(
\sin(\theta_{max,2}) = \frac{n \cdot \lambda_{max}}{d} = \frac{2 \cdot 780 \times 10^{-9}}{1.33 \times 10^{-6}} \approx 1.173
\)
Da der Sinus eines Winkels nicht größer als 1 sein kann, gibt es in diesem Fall kein physisches Maximum in 2. Ordnung für die Wellenlänge von 780 nm.
Zusammenfassend sind die Beugungswinkel für die 1. Ordnung etwa \(17.0^\circ\) für die kleinste und \(35.7^\circ\) für die größte Wellenlänge. Für die 2. Ordnung beträgt der Winkel etwa \(35.7^\circ\) für die kleinste Wellenlänge, während für die größte Wellenlänge kein Maximum in 2. Ordnung existiert.
