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Besitzt das Vektorfeld ein Potential?
Um zu entscheiden, ob das Vektorfeld \( \vec{v}(x, y, z) = (2xy^{3}, 3x^{2}y^{2}+2yz, y^{2}) \) ein Potential besitzt, prüfen wir, ob es konservativ ist. Ein Vektorfeld ist konservativ (oder besitzt ein Potential), wenn der Rotor (oder die Rotation) \(\nabla \times \vec{v}\) gleich dem Nullvektor ist.
Die Rotation eines Vektorfeldes \( \vec{v} = (P, Q, R) \) wird berechnet mit:
\(
\nabla \times \vec{v} = \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}, \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}, \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right)
\)
Also für \( \vec{v}(x, y, z) = (2xy^{3}, 3x^{2}y^{2}+2yz, y^{2}) \) erhalten wir:
\(
\nabla \times \vec{v} = \left( \frac{\partial (y^2)}{\partial y} - \frac{\partial (3x^2y^2 + 2yz)}{\partial z}, \frac{\partial (2xy^3)}{\partial z} - \frac{\partial (y^2)}{\partial x}, \frac{\partial (3x^2y^2 + 2yz)}{\partial x} - \frac{\partial (2xy^3)}{\partial y} \right)
\)
\(
= \left( 2y - 2y, 0 - 0, 6x^{2}y - 6xy^2 \right) = (0, 0, 0)
\)
Da der Rotor des Vektorfeldes null ist, besitzt das Vektorfeld ein Potential.
Berechnung des Integrals entlang des Weges \(\gamma\)
Zunächst drücken wir das Vektorfeld entlang des Weges \( \gamma(t) = (t^3, t^2+t, t) \) aus. Wir setzen die Komponenten des Weges in das Vektorfeld ein:
\(
\vec{v}(\gamma(t)) = (2t^3(t^2+t)^3, 3t^6(t^2+t)^2+2(t^2+t)t, (t^2+t)^2)
\)
Der Tangentialvektor \( \overrightarrow{\gamma'}(t) \) ergibt sich durch Ableiten der Wegfunktion nach \(t\):
\(
\gamma'(t) = \left(\frac{d}{dt}t^3, \frac{d}{dt}(t^2+t), \frac{d}{dt}t \right) = (3t^2, 2t+1, 1)
\)
Das Skalarprodukt \( \vec{v}(\gamma(t)) \cdot \overrightarrow{\gamma'}(t) \) lautet:
\(
(2t^3(t^2+t)^3, 3t^6(t^2+t)^2+2(t^2+t)t, (t^2+t)^2) \cdot (3t^2, 2t+1, 1)
\)
\(
= 6t^5(t^2+t)^3 + 3t^6(t^2+t)^2(2t+1) + 2t(t^2+t)^3 + (t^2+t)^2
\)
Das Integral über diesen Ausdruck von 0 bis 1 gibt die Arbeit des Vektorfeldes entlang des Weges \(\gamma\) an:
\(
\int_{0}^{1} \left[6t^5(t^2+t)^3 + 3t^6(t^2+t)^2(2t+1) + 2t(t^2+t)^3 + (t^2+t)^2 \right] dt
\)
Ohne hier durch eine vollständige Ausführung den Wert des Integrals zu berechnen, können Sie dieses Integral mit den entsprechenden algebraischen Fähigkeiten oder einem Computeralgebrasystem lösen.
Berechnung eines Potentials
Da das Vektorfeld konservativ ist, existiert ein skalares Potential \( \Phi(x, y, z) \), für das gilt:
\(
\nabla \Phi(x, y, z) = \vec{v}(x, y, z)
\)
Die allgemeine Prozedur, ein solches Potential zu finden, beinhaltet das Integrieren der einzelnen Komponenten von \( \vec{v} \) und die Verwendung der Integrationskonstanten, um Unterschiede zwischen den partiellen Integrationen auszugleichen. Für ein detailliertes Verfahren werden einzelne Integrationen für jede Komponente durchgeführt, und eine Vergleichsanalyse stellt sicher, dass das Potential \( \Phi(x, y, z) \) konsistent ist.
