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Druckformel für Schallwelle
Um eine Formel für den Druck \( p(z, t) \) in Abhängigkeit von der Position \( z \) und der Zeit \( t \) für eine Schallwelle zu erstellen, müssen wir zuerst die Wellengleichung betrachten und dann die gegebenen Informationen verwenden, um die spezifischen Parameter der Welle zu bestimmen.
Schallwellen können als sinusförmige Wellen beschrieben werden. Die allgemeine Form einer solchen Welle, die sich in positive \( z \)-Richtung bewegt, ist:
\(
p(z, t) = p_0 \sin(kz - \omega t + \phi)
\)
Dabei steht:
- \( p(z, t) \) für den Druck an der Position \( z \) zur Zeit \( t \),
- \( p_0 \) für die Amplitude der Druckwelle (die Differenz zwischen dem Druckmaximum und dem mittleren Druck),
- \( k \) für die Wellenzahl,
- \( \omega \) für die Kreisfrequenz der Welle, und
- \( \phi \) für die Phasenverschiebung.
Schritte zur Bestimmung der Parameter:
1.
Amplitude \( p_0 \):
Die Amplitude der Welle kann bestimmt werden, indem das Maximum und das Minimum des Drucks genutzt wird. Das mittlere Druckniveau \( p_{\text{mittel}} \) ist der Durchschnitt von \( p_{\max} \) und \( p_{\min} \):
\(
p_{\text{mittel}} = \frac{p_{\max} + p_{\min}}{2} = \frac{101341 \, \text{Pa} + 101307 \, \text{Pa}}{2} = 101324 \, \text{Pa}
\)
Die Amplitude ist die Differenz zwischen \( p_{\max} \) und \( p_{\text{mittel}} \):
\(
p_0 = p_{\max} - p_{\text{mittel}} = 101341 \, \text{Pa} - 101324 \, \text{Pa} = 17 \, \text{Pa}
\)
2.
Wellenzahl \( k \) und Kreisfrequenz \( \omega \):
Die Welle hat eine Periode \( T \) in der Zeit, die dem Abstand zwischen \( t_1 \) und \( t_2 \) entspricht:
\(
T = t_2 - t_1 = 0,025569 \, \text{s} - 0,024724 \, \text{s} = 0,000845 \, \text{s}
\)
Die Frequenz \( f \) ist der Kehrwert der Periode \( T \):
\(
f = \frac{1}{T} = \frac{1}{0,000845 \, \text{s}} \approx 1183,43 \, \text{Hz}
\)
Die Kreisfrequenz ist \( \omega = 2\pi f \):
\(
\omega = 2\pi \times 1183,43 \approx 7435,07 \, \text{s}^{-1}
\)
Die Wellenzahl \( k \) ist \( \frac{2\pi}{\lambda} \), wobei die Wellenlänge \( \lambda = \frac{c}{f} \):
\(
\lambda = \frac{343 \, \text{m/s}}{1183,43 \, \text{Hz}} \approx 0,29 \, \text{m}
\)
\(
k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{0,29 \, \text{m}} \approx 21,66 \, \text{m}^{-1}
\)
3.
Phasenverschiebung \( \phi \):
Ohne zusätzliche Informationen wird \( \phi \) typischerweise als \( 0 \) oder ein anderer Wert genommen, der durch spezifische Bedingungen der Welle bestimmt wird. Für diese Aufgabe bleiben wir beim Standardwert \( \phi = 0 \), solange nichts anderes angegeben ist.
Formel für den Druck:
Zusammenfassend lautet die Formel für den Druck \( p(z, t) \) unter Einbeziehung aller gefundenen Parameter:
\(
p(z, t) = 17 \sin(21,66z - 7435,07t)
\)
Hier haben wir \( \phi = 0 \) angenommen, da keine Informationen über die Phasenlage zum Ausgangszeitpunkt gegeben sind. Diese Formel beschreibt den Druck einer Schallwelle in der Luft in Abhängigkeit von der Position \( z \) und der Zeit \( t \).
